Bugatti bylo po většinu své existence známo pro rychlé a exkluzivní vozy, které vyhrávaly závody po celém světě. Nejinak tomu je i u moderní reinkarnace značky, která nabízí jedny z nejrychlejších a nejdražších vozů světa. Už v počátcích se italským konstruktérem Ettore Bugattim založená francouzská automobilka soustředila na vývoj sportovních vozů, samotný Ettore Bugatti však pracoval i na vývoji vozů pro jiné automobilky. Už první model, Bugatti Type 1, vznikl u italské firmy Prinetti & Stucchi. Bugatti Type 2 zase zaujal majitele automobilky De Dietrich natolik, že pro něj Bugatti vyvinul následující modely De Dietrich-Bugatti 3 až 7. Následující Type 8 a 9 zase vznikaly u německé automobilky Deutz. Ještě v době u Deutz vznikl i prototyp Type 10, který dal základ pozdějšímu Type 13, prvnímu opravdovému Bugatti.
Ani po rozjetí vlastní automobilky, produkující vozy pod jeho jménem, se však Ettore Bugatti zcela nevzdal prací pro jiné firmy. V roce 1911 navrhl malý lidový vůz pro německou automobilku Wanderer a prototyp dostal označení Bugatti Type 19. Vůz patřil do tehdy populární kategorie cyklovozů, těch nejjednodušších a nejlevnějších automobilů. Oproti konkurenci, které většinou disponovaly jedno nebo dvouválcovými motory, nabídl Bugatti vodou chlazený čtyřválec.
Wanderer však nakonec Bugattiho design odmítnul a začal s vývojem vlastního vozidla, modelu Wanderer W1 5/12 PS, který se ale Type 19 dost podobal. Poté byl ale model nabídnut francouzskému Peugeotu, který o výrobu projevil zájem. Nový vůz se představil na Pařížském autosalonu v roce 1912 pod názvem Peugeot Type BP1 Bébé. Oproti originálu se vůz na pohled lišil zejména změnou tvaru chladiče, oproti typické podkově na Type 19 se Bébé ukázalo se zaoblenou horní stranou chladiče a chromovaným logem Peugeot.
Peugeot už tou dobou nabízel celou modelovou řadu vozů, od malých rodinných vozů po velké sportovní modely jako byl například Peugeot Type 147. Kromě toho se pod značkou Lion-Peugeot nabízely menší lidové vozy od této původně nezávislé značky, kterou Peugeot převzal v roce 1910. Všechny modely obou značek do té doby prodávaly jen stovky kusů s nejprodávanějšími modely kolem tisíce vyrobených kusů.
Nový Peugeot Type BP1 Bébé se stal nejmenším modelem v tehdejší nabídce Peugeotu a jménem Bébé odkazoval na dřívější model Type 69 Bébé, který se prodával jen v roce 1905. Dvoumístný model tehdy zaujal jako velmi levný, ale zároveň i moderní a robustní vůz. Se 400 vyrobenými kusy v roce 1905 představoval 80% všech toho roku vyrobených Peugeotů a kromě Francie se nabízel i v zahraničí, hlavně v Británii, jeden kus se ale dostal dokonce až do Tibetu.
Také Type BP1 Bébé se vyznačoval zaměřením na co nejnižší cenu. Vůz už oproti předchozí generaci nabídl alespoň dveře, avšak pouze na levé straně, tedy na straně spolujezdce a v interiéru se nenacházel jediný ukazatel. Oproti prototypu se kvůli snížení ceny nahradila původní čtyřrychlostní převodovka od Bugattiho novou dvourychlostní a v pozdějších modelech třírychlostní. Nahrazen byl i motor, za řadový čtyřválec o objemu 855 ccm a výkonu 10 koní. Ten dokázal poslat méně než 350 kg vážící automobil na 60 km/h. To vypadá z dnešního pohledu směšně, Peugeot Bébé se však ve své době zapojil i do několika závodů a například závod na hoře Mont Ventoux v roce 1913 ve své třídě vyhrál.
Peugeot svému novému modelu důvěřoval a dopřál mu i odpovídající reklamu. Jedna z nich ukazovala Bébé jako ideální dopravní prostředek pro vesnického doktora, protože dokázal nahradit potřebné dva koně ale jen za cenu jednoho.
V prodeji se Bébé udrželo čtyři roky, za které se prodalo 3095 kusů vozidla. To z něj udělalo do té doby nejúspěšnější vozidlo značky, ale také jde dodnes o nejprodávanější vůz s původem u Bugatti. Nejprodávanější vozidlo přímo se značkou Bugatti, Type 44, vzniklo v 1095 exemplářích.
Dodnes se dochoval dokonce i původní prototyp Bugatti Type 19, který je vystaven v Musée National de l'Automobile ve francouzském Mulhouse. Peugeot Type BP1 Bébé se vzhledem k počtu vyrobených kusů dodnes dochovalo pouze několik, které se občas objeví v aukcích. Naposledy se jeden kus z roku 1914 prodal v aukci RM Sotheby's za 1,7 milionu korun.